Rút gọn biểu thức $P=\sin \left(a+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(a-\frac{\pi }{4}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức nhân đôi tích: $\sin x\sin y=\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}$ với $x=a+\frac{\pi }{4}$, $y=a-\frac{\pi }{4}$.
Ta có $x-y=\frac{\pi }{2}$ nên $\cos (x-y)=0$; $x+y=2a$ nên $\cos (x+y)=\cos 2a$.
Vậy $P=\frac{0-\cos 2a}{2}=-\frac{1}{2}\cos 2a$. Kiểm tra với $a=0$: $P=\sin \frac{\pi }{4}\sin (-\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{2}$, còn $-\frac{1}{2}\cos 0=-\frac{1}{2}$, khớp. Đáp án D.