Câu 1. (5,0 điểm)
a) Cho biết rằng đa thức $P(x)=x^3+x^2-2x-1$ có ba nghiệm thực $a>b>c$ với $c^2>a^2>b^2$. Chứng minh rằng $P(x)$ có một nghiệm bằng $a^2-2$ và $a^2-b=b^2-c=c^2-a=2$.

b) Cho các số thực phân biệt $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a^2-b=b^2-c=c^2-a$. Chứng minh rằng $(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1$ và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=ab+bc+ca$.

a) (2,0 điểm) Giả sử $a$ là nghiệm của $P(x)=x^3+x^2-2x-1$, ta sẽ chứng minh rằng $a^2-2$ là nghiệm của đa thức này. Cụ thể là chứng minh đẳng thức
$$(a^2-2{)}^3+(a^2-2{)}^2-2(a^2-2)-1=0$$
$$\iff a^6-5a^4+6a^2-1=0\iff {\left(a^3-2a\right)}^2={\left(a^2-1\right)}^2$$
$$\iff \left(a^3-a^2-2a+1\right)\left(a^3+a^2-2a-1\right)=0,$$
đẳng thức cuối đúng vì $P(a)=0$ nên nhận xét được chứng minh. (1,0 điểm)

Vì $a,b,c$ là nghiệm $P(x)$ nên $a^2-2$, $b^2-2$, $c^2-2$ cũng là các nghiệm $P(x)$. Theo giả thiết thì $c^2-2>a^2-2>b^2-2$ nên ta phải có
$$c^2-2=a,a^2-2=b,b^2-2=c\text{ hay }{a}^2-b=b^2-c=c^2-a=2.$$ (1,0 điểm)

Ghi chú: Ta cũng có thể dùng định lý Viète thuận và đảo để chứng minh kết quả này.

b) (3,0 điểm) Ta có $a^2-b^2=b-c$ nên $a^2-b^2+a-b=a-c\iff (a-b)(a+b+1)=a-c$. Chứng minh tương tự $(b-c)(b+c+1)=b-a$, $(c-a)(c+a+1)=c-b$.
Vì các số $a,b,c$ đôi một phân biệt nên $(a-b)(b-c)(c-a)\ne 0$, vì thế nhân từng vế các đẳng thức trên lại, ta có $(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1$. (*) (1,0 điểm)

Ta cũng có $(a-b)(a+b)=b-c$. Xây dựng hai đẳng thức tương tự khác và nhân lại, ta cũng có $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. (0,5 điểm)

Từ (*), ta có $(a+b)(b+c)(c+a)+{\sum }_{\text{cyc}}(a+b)(b+c)+{\sum }_{\text{cyc}}(a+b)+1=-1$ nên
$$\sum _{\text{cyc}}(a+b)(b+c)+\sum _{\text{cyc}}(a+b)=-3$$
$$\iff a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)+2(a+b+c)=-3$$
$$\iff (a+b+c+1{)}^2+(ab+bc+ca+2)=0.$$
Từ đẳng thức cuối, chú ý $(a+b+c+1{)}^2\ge 0$ nên ta có ngay $ab+bc+ca\le -2$. (1,0 điểm)

Để có dấu bằng xảy ra thì $a+b+c=-1$, $ab+bc+ca=-2$. Chú ý rằng
$$1=(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=2-abc$$ nên $abc=1$.
Từ đó theo Viete đảo, ta có $a,b,c$ là nghiệm thực của đa thức (đã nêu ở câu a):
$$x^3+x^2-2x-1=0.$$ (0,5 điểm)