Câu 2 (5.0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn, $AB<AC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$. $AD$ cắt $(I)$ tại điểm thứ hai $E\ne D$. Tiếp tuyến tại $E$ của $(I)$ cắt $AB$, $AC$ tại $M$, $N$. Đường thẳng qua $N$ vuông góc với $MN$ cắt $MI$ tại $P$, đường thẳng qua $N$ vuông góc với $AC$ cắt $CI$ tại $Q$.

a) Chứng minh rằng $BN\perp PQ$.

b) Gọi $K=CM\cap BN$, $L$ là trung điểm của $PQ$. Chứng minh rằng $K$, $I$, $L$ thẳng hàng.

Lời giải.

a) Gọi $X$ là điểm đối xứng của $N$ qua $MP$ và $Y$ là điểm đối xứng của $N$ qua $QC$. Khi đó, ta suy ra $MX=MN$ và $CN=CY$. Theo định lý Pitot, ta có:

$$BC-CN=MB-MN⟹BX=BY.$$

Ta có chuỗi biến đổi sau:

$$N{P}^2-N{Q}^2=P{X}^2-Q{Y}^2=(P{B}^2-B{X}^2)-(B{Q}^2-B{Y}^2)=B{P}^2-B{Q}^2.$$

Theo định lý 4 điểm, thì $PQ\perp BN$.



b) Gọi $F=MN\cap BC$ và $G=CM\cap AF$.

Dễ thấy ta có các hàng điểm điều hòa $(B,C,D,F)=-1$ và $(M,N,E,F)=-1$. Từ đó suy ra:

$$(F,D,B,C)=(F,E,N,M)$$

Đẳng thức trên kéo theo ba đường thẳng $ED$, $MC$, $NB$ đồng quy, suy ra $K\in AE$.

Khi đó ta có:

$$(G,K,M,C)=A(G,K,M,C)=(F,D,B,C)=-1$$

Suy ra

$$I(G,K,M,C)=-1(1)$$

Tiếp theo, xét cực và đối cực đối với đường tròn $(I)$. Theo một tính chất quen thuộc, ta có $BN$ là đường đối cực của $G$ đối với $(I)$, suy ra được $IG\perp BN$.

Mặt khác, $BN\perp PQ$ (câu a). Do cùng vuông góc với $BN$, ta có:

$$PQ\parallel IG(2)$$

Từ (1) và (2), ta suy ra $KI$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $PQ$. Hay nói cách khác, $KI$ đi qua $L$. Vậy ba điểm $K$, $I$, $L$ thẳng hàng.



Nhận xét

Ta còn có cách giải khác như sau: qua $N$ kẻ đường thẳng vuông góc với $IN$ cắt $CM$ tại $R$. Khi đó $P,Q,R$ thẳng hàng trên đường cắt tuyến trục giao của $N$ đối với tam giác $ICM$. Khi đó dùng cực và đối cực sẽ ra được cả câu $a,b$!

Phát triển

Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp $(I)$ tại điểm $D$. Đường thẳng $AD$ cắt lại $(I)$ tại $E$. Tiếp tuyến tại $E$ của $(I)$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Hai đường thẳng $BN$ và $CM$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh rằng nếu $X$ và $Y$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $BMN$ và $BCN$ thì đường thẳng $IK$ chia đôi đoạn thẳng $XY$.