Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $\vec{u}=(3;2;-6)$, mặt phẳng $(P):2x+2y+z-10=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+4x+2y-2z-3=0$.

a) Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-2;-1;1)$ và bán kính $R=\sqrt{(-2{)}^2+(-1{)}^2+1^2-(-3)}=3$. Mệnh đề a sai.
b) Khoảng cách $d(I,(P))=\frac{|2(-2)+2(-1)+1-10|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{15}{3}=5$. Mệnh đề b đúng.
c) Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(2;2;1)$. Ta có $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|6+4-6|}{7\cdot 3}=\frac{4}{21}⟹\cos \alpha =\frac{\sqrt{425}}{21}\ne \frac{4}{21}$. Mệnh đề c sai.
d) Góc giữa đường thẳng $MN$ và $(P)$ cố định bằng $\alpha$. Ta có $MN=\frac{MH}{\sin \alpha }=\frac{MJ+d(I,(P))}{\sin \alpha }$. Do đó $MN$ lớn nhất khi $MJ$ lớn nhất $⟺M,I,H$ thẳng hàng theo thứ tự đó, suy ra $M(-4;-3;0)$. Khi đó $a-2b+3c=-4-2(-3)+3(0)=2$. Mệnh đề d đúng.