Câu 4. (4,00 điểm) Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực thoả $(a+3c)(a+2b+3c)<0$. Chứng minh rằng ${\left(2b-3c\right)}^2>4a(a+2b+3c)$.

Cho các số thực $\{a,b,c\}\subset \left(\frac{1}{\sqrt{6}};+\infty \right)$ và thoả mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng: $\frac{1+a^2}{\sqrt{2a^2+3ab-c^2}}+\frac{1+b^2}{\sqrt{2b^2+3bc-a^2}}+\frac{1+c^2}{\sqrt{2c^2+3ca-b^2}}\ge 2(a+b+c)$

Tại chương trình Trại hè Hùng Vương lần thứ XX năm 2026, Ban tổ chức đã sắp xếp 26 buổi giao lưu và nghe giảng bài của các cựu học sinh đạt huy chương IMO của Việt Nam. Biết rằng có tất cả $n$ học sinh môn Toán đăng ký và vì theo sắp xếp chương trình, mỗi buổi sẽ có đúng 20 học sinh tham gia và 2 học sinh bất kỳ tham gia chung không quá 1 buổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ trong từng trường hợp sau (có xây dựng ví dụ cụ thể):
a) Mỗi học sinh được tham gia không quá 2 buổi.
b) Có một số học sinh được tham gia nhiều hơn 2 buổi.

Câu 4: (3,0 điểm).

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $3ab+bc+2ac=6$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{1}{a^2+1}+\frac{4}{b^2+4}+\frac{9}{c^2+9}$.

Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a>\frac{1}{5},b>1$. Giá trị nhỏ nhất của ${\log }_{5a}b+{\log }_b(a^4-25a^2+625)$ bằng

Cho hai số thực x, y thỏa mãn: 9 x3 + 2 − y 3xy − 8 x + 2 3xy − 8 =0 . Giá trị nhỏ nhất của biểu a 6 +b thức P= x3 + y 3 + 9 xy + ( 9 x 2 + 5 ) ( x + y − 3) có dạng . Tính T= a + b . 9

Cho a, b là số thực dương thỏa mãn 2a +b + 2 ab −3 = . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a+b S m 2 + n. T = a 2 + b 2 + 3(a + b) + 1 có dạng m + n . Tính =