Câu 4 (7,0 điểm). Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B,C$ cố định trên $(O)$ sao cho $BC$ không là đường kính. Điểm $A$ di chuyển trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB<AC$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H$. Đường thẳng $AD$ cắt $(O)$ tại điểm $A^{\prime }$ khác $A$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ cắt đoạn $AH$ tại $I$.
a) Gọi $M$ là giao của $IE$ và $A^{\prime }B$, $N$ là giao của $IF$ và $A^{\prime }C$. Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $OH$.
b) Gọi $K$ là điểm đối xứng với $O$ qua $BC$ và $T$ là giao điểm của $KH$ và $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $A$ song song với $DT$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ thay đổi.