Câu 5. (6.0 điểm)

a) Cho $n=2026^{2027}+2027^{2026}+30$. Chứng minh rằng tổng tất cả các ước số nguyên dương của $n$ chia hết cho 24.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương $x$, $y$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\frac{x{y}^3}{x+y}=p$.

Lời giải.

a) Trước hết ta có bổ đề sau:

Bổ đề. Với số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n+1$ chia hết cho 24 thì $\sigma (n)$ chia hết cho 24.

Chứng minh. Để ý nếu $n\equiv -1(\mathrm{mod}24)$ thì $n$ không là số chính phương. Gọi $d_1,d_2,\cdots ,d_k$ là tất cả các ước dương của $n$ bé hơn $\sqrt{n}$. Để ý với $d$ là ước dương của $n$ thì $d+\frac{n}{d}=\frac{d^2+n}{d}$ chia hết cho 24, vì thế $\sigma (n)$ chia hết cho 24. $\square$

Để ý $n\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ và $n\equiv 7(\mathrm{mod}8)$ nên $n\equiv -1(\mathrm{mod}24)$, theo bổ đề có điều phải chứng minh.

b) Đặt $d=(x,y)$, $x=da$, $y=db$ với $(a,b)=1$. Khi đó ta có được
$$\frac{d^{3}a{b}^3}{a+b}=p.$$
Do $(a,b)=1$ nên $(a+b,a{b}^3)=1$. Vì $a+b\mid d^{3}a{b}^3$, nên $a+b\mid d^3$.

Đặt $d^3=c(a+b)$ với $c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ thì $ca{b}^3=p$.

Vì $p$ là số nguyên tố nên $b=1$. Do đó $ca=p$, nên ta có hai trường hợp sau:

- Nếu $a=1$, $c=p$, thì $d^3=2p$, vô lý vì $2p$ không thể là một lập phương.
- Nếu $a=p$, $c=1$, thì $d^3=p+1$ hay $p=d^3-1=(d-1)(d^2+d+1)$. Vì $p$ là số nguyên tố và $d^2+d+1>1$, ta phải có $d-1=1$. Suy ra $d=2$ và $p=7$.

Khi đó $x=14$ và $y=2$.

Thử lại thấy thỏa mãn, vậy nghiệm duy nhất thỏa mãn là $(x,y,p)=(14,2,7)$.

Nhận xét. Bài toán trên là bài toán đã xuất hiện trong đề thi Hy Lạp MO 2015. Ta cũng có thể làm mạnh bài toán như sau: Bài toán: Cho số nguyên dương $k$. Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y$ và số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{x{y}^3}{x+y}=p^k$.