Cho $\cot \alpha =-\sqrt{2},\left(0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }\right)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ và $\cot \alpha =-\sqrt{2}<0$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II, do đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, $\tan \alpha <0$.

Ta có $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow 1+2=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$, suy ra $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$ (dương vì $\alpha$ ở góc phần tư II).

$\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.

$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ (âm).

a) Đúng: $\sin \alpha >0$ vì $\alpha$ ở góc phần tư thứ II.
b) Đúng: ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$ nên $\sin \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$; cụ thể $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$.
c) Đúng: $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
d) Sai: $\tan \alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}}\ne \frac{1}{\sqrt{2}}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\alpha$ ở góc phần tư thứ II nên $\sin \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ suy ra ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$, tức $\sin \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$; cụ thể $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, giá trị âm nên mệnh đề $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$ sai.