Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}+\frac{1}{a+b+1}\ge 2\left(\frac{1}{a+5}+\frac{1}{b+5}+\frac{1}{c+5}\right).$$

Từ giả thiết $a+b+c=3$, ta có $b+c=3-a$. Thay vào đề, ta được:
$$\frac{1}{4-a}+\frac{1}{4-b}+\frac{1}{4-c}\ge \frac{2}{a+5}+\frac{2}{b+5}+\frac{2}{c+5}$$
$$\iff \sum _{cyc}\left(\frac{1}{4-a}-\frac{2}{a+5}\right)\ge 0.$$

Ta chứng minh bất đẳng thức sau với mọi $x\in (0;3)$:
$$\frac{1}{4-x}-\frac{2}{x+5}\ge \frac{x-1}{6}$$
$$\iff \frac{3(x-1)}{(4-x)(x+5)}-\frac{x-1}{6}\ge 0$$
$$\iff \frac{(x-1{)}^2(x+2)}{6(4-x)(x+5)}\ge 0(\text{đuˊng với mọi }x\in (0;3)).$$

Áp dụng lần lượt cho $a,b,c$, ta thu được:
$$\sum _{cyc}\left(\frac{1}{4-a}-\frac{2}{a+5}\right)\ge \sum _{cyc}\frac{a-1}{6}$$
$$\iff \sum _{cyc}\left(\frac{1}{4-a}-\frac{2}{a+5}\right)\ge \frac{a+b+c-3}{6}=0$$

Bất đẳng thức được chứng minh. DTXR khi và chỉ khi $a=b=c=1$.