Cho các số phức $w,z$ thỏa mãn $|w+i|=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ và $5w=(2+i)(z-4)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z-1-2i|+|z-5-2i|$ bằng

Chọn B.
Ta có $5w=(2+i)(z-4)\iff 5(w+i)-5i=(2+i)(z-4)\iff 5(w+i)=(2+i)(z-4)+5i$.
Lấy môđun hai vế:
$5|w+i|=|(2+i)(z-4)+5i|=|2+i|\cdot \left|z-4+\frac{5i}{2+i}\right|$.
Vì $|2+i|=\sqrt{5}$ và $|w+i|=\frac{3\sqrt{5}}{5}$, nên:
$5\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}=3\sqrt{5}=\sqrt{5}\cdot \left|z-4+\frac{5i(2-i)}{5}\right|=\sqrt{5}\cdot |z-4+1+2i|=\sqrt{5}\cdot |z-(3-2i)|$.
Suy ra $|z-(3-2i)|=3$.
Do đó tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(3;-2)$, bán kính $R=3$.
Xét các điểm $A(1;2)$ và $B(5;2)$.
Biểu thức $P=MA+MB$.
Nhận xét: $I$ là trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu của $AB$ xuống đường thẳng $y=-2$, tam giác $IAB$ cân tại $I$.
Áp dụng bất đẳng thức hình học và công thức đường trung tuyến, ta tìm được giá trị lớn nhất của $P=MA+MB$ bằng $2\sqrt{53}$.