Với $a$ và $b$ là các số thực thỏa mãn $0<a\ne 1$ và $b>0$. Biểu thức ${\log }_a(a^{2}b)$ bằng

Cho khối trụ có diện tích đáy bằng $4\pi a^2$ và độ dài đường cao bằng $a$. Thể tích của khối trụ đã cho bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;-2;4)$. Hình chiếu vuông góc của $A$ trên trục $Oy$ là

Điểm $A$ trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức $z$.
[IMAGE_1]

Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho số phức $z=-1+2i$. Số phức $\bar{z}$ được biểu diễn bởi điểm nào dưới đây trên mặt phẳng tọa độ?

Cho hàm số $f(x)=\sin 4x$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Cho khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng $5$, đáy là hình vuông có cạnh bằng $4$. Thể tích khối lăng trụ là

Tập xác định của hàm số $y=x^{\frac{1}{3}}$ là

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
[IMAGE_1]

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-5{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=9$. Bán kính của $(S)$ là

Cho hình nón $(N)$ có đường kính đáy bằng $4a$, đường sinh bằng $5a$. Tính diện tích xung quanh $S$ của hình nón $(N)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+8}{4}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z}{-1}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$?

Cho số phức $z_1=1+2i$ và $z_2=-2-2i$. Tìm môđun của số phức $z_1-z_2$.

Tích phân ${\int }_1^2(x+3{)}^{2}dx$ bằng

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$ là đường thẳng

Cho số phức $z=1+3i$, môđun của số phức $w=z^2-i\bar{z}$ là

Cho $a$ là số dương, biểu thức $a^{\frac{2}{3}}\cdot \sqrt{a}$ viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
[IMAGE_1]

Hỏi hàm số $y=f(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau tại $O$ và $OA=2,OB=4,OC=6$. Thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;3;5)$ và $B(4;-5;7)$. Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là

Cho hàm số $f(x)=x^2-3x+\frac{1}{x}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Cho ${\int }_{-2}^{1}f(x)dx=3$. Tính tích phân $I={\int }_{-2}^1[2f(x)-1]dx$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng chứa hai điểm $A(1;0;1),B(-1;2;2)$ và song song với trục $Ox$ có phương trình là

Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$ trên đoạn $[0;3]$. Tính giá trị $M-m$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;-3),B(-2;3;1)$. Đường thẳng đi qua $A(1;2;-3)$ và song song với đường thẳng $OB$ có phương trình là

Tìm tập nghiệm của bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-x}>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{4-x}$.

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Tích các nghiệm của phương trình $\log (x-1{)}^2=2$ là

Trong một hộp có $10$ viên bi đánh số từ $1$ đến $10$, lấy ngẫu nhiên ra hai bi. Tính xác suất để hai bi lấy ra có tích hai số trên chúng là một số lẻ.

Cho hàm số $y=x^4+4x^2$ có đồ thị $(C)$. Tìm số giao điểm của đồ thị $(C)$ và trục hoành.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, mặt bên $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ biết rằng mặt phẳng $(SBC)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $60^{\circ }$.

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z+2-i|=2\sqrt{2}$ và $(z-i{)}^2$ là số thuần ảo?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, $SA=2a\sqrt{3}$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB=a\sqrt{3}$ và $BC=a$ (minh họa như hình vẽ dưới đây).
[IMAGE_1]

Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng

Cho hai điểm $A(3;3;1),B(0;2;1)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-7=0$. Gọi $d$ là đường thẳng nằm trên $(P)$ sao cho mọi điểm của $d$ cách đều hai điểm $A$ và $B$. Phương trình của đường thẳng $d$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ dưới đây.
[IMAGE_1]

Trên $[0;3]$, hàm số $g(x)=2f(x)-(x-1{)}^2$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ cạnh đáy bằng $2a$ và chiều cao bằng $a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ tâm $O$ của đáy $ABC$ đến một mặt bên.

Cho hàm số $y=f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{x+1}& \text{khi }0\le x\le 1\\ 2x-1& \text{khi }1\le x\le 3\end{array}$. Tính tích phân ${\int }_0^{3}f(x)dx$.

Số giá trị nguyên âm của $m$ để phương trình ${\log }_5(x-1)={\log }_5(mx+4x)$ có nghiệm.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết ${\int }_1^{e^3}\frac{f(\ln x)}{x}dx=7$ và ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)\sin xdx=3$. Tính ${\int }_1^3[f(x)+2x]dx$.

Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau, biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng $75\%$ thể tích kem đóng băng ban đầu. Gọi $h$ và $r$ lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế (tham khảo hình vẽ).
[IMAGE_1]

Tính tỉ số $\frac{h}{r}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết rằng đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ dưới đây.
[IMAGE_1]

Đặt $M={\max }_{[-2;6]}f(x)$, $m={\min }_{[-2;6]}f(x)$ và $T=M+m$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ thỏa mãn $(\sqrt{1+{\ln }^{2}a}+\ln a)(\sqrt{1+(a-3{)}^2}+a-3)\le 1$?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
[IMAGE_1]

Số các giá trị nguyên của tham số $m\in [-2021;2021]$ để đồ thị hàm số $g(x)=f^2(x)-(m+1)f(x)+2$ có ba điểm cực tiểu là

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+10=0$. Xét đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-mt\\ z=(m-1)t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$), với $m$ là tham số. Giả sử hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ chứa đường thẳng $d$ và lần lượt tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $M$ và $N$. Khi đoạn thẳng $MN$ ngắn nhất thì mặt phẳng $(\alpha )$ qua tâm của mặt cầu $(S)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có dạng $5x+by+cz+d=0$. Hãy tính $T=b+c+d$.

Cho các số phức $w,z$ thỏa mãn $|w+i|=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ và $5w=(2+i)(z-4)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z-1-2i|+|z-5-2i|$ bằng