Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ thỏa mãn $(\sqrt{1+{\ln }^{2}a}+\ln a)(\sqrt{1+(a-3{)}^2}+a-3)\le 1$?

Chọn C.
Xét hàm số đặc trưng $g(t)=\sqrt{1+t^2}+t$ trên $\mathbb{R}$.
Ta có $g^{\prime }(t)=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}+1=\frac{t+\sqrt{1+t^2}}{\sqrt{1+t^2}}>0,\forall t\in \mathbb{R}$, nên $g(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác, $g(t)\cdot g(-t)=(\sqrt{1+t^2}+t)(\sqrt{1+t^2}-t)=1+t^2-t^2=1\Rightarrow \frac{1}{g(t)}=g(-t)$.
Bất phương trình đã cho có dạng:
$g(\ln a)\cdot g(a-3)\le 1\iff g(\ln a)\le \frac{1}{g(a-3)}=g(3-a)\iff \ln a\le 3-a\iff \ln a+a-3\le 0$.
Xét hàm số $h(a)=\ln a+a-3$ trên $(0;+\infty )$ có $h^{\prime }(a)=\frac{1}{a}+1>0$ nên $h(a)$ đồng biến.
Ta có:
- Với $a=1$: $h(1)=\ln 1+1-3=-2\le 0$ (thỏa mãn).
- Với $a=2$: $h(2)=\ln 2+2-3=\ln 2-1\approx -0,307\le 0$ (thỏa mãn).
- Với $a=3$: $h(3)=\ln 3>0$ (loại).
Vì $a$ nguyên dương nên $a\in \{1;2\}$. Vậy có $2$ số nguyên dương thỏa mãn.