Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn ${\log }_2\left(\frac{b}{2a+2}\right)=a-b$. Giá trị nhỏ nhất của $P=b+\frac{9}{a+2}$ là

Giả thiết tương đương ${\log }_{2}b+b={\log }_2(a+1)+(a+1)$. Xét hàm số $h(t)={\log }_{2}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra $b=a+1$. Khi đó $P=a+1+\frac{9}{a+2}=(a+2)+\frac{9}{a+2}-1\ge 2\sqrt{(a+2)\cdot \frac{9}{a+2}}-1=5$ (dấu bằng xảy ra khi $a=1,b=2$).