Cho đa thức hệ số thực $P(x)$ có bậc $d⩾5$, hệ số cao nhất bằng 1 và $P^{\prime }(x)>0$ với mọi $x⩾1$. Xét dãy số $(x_n{)}_{n⩾1}$ xác định bởi

$$x_1=1,x_{n+1}=\frac{P^{\prime }(n)}{P(n+1)-P(n)}{x}_n,\forall n⩾1.$$

a) Xét dãy số $(y_n{)}_{n⩾1}$ xác định bởi $y_n=n\left(\frac{P(n+1)-P(n)}{P^{\prime }(n)}-1\right)$, $n⩾1$.

Chứng minh rằng các dãy $(x_n),(y_n)$ đều hội tụ và tìm các giới hạn tương ứng.

b) Đặt $z_n=x_1+x_2+\cdots +x_n$. Chứng minh rằng dãy $(z_n)$ hội tụ.

Lời giải (Lim Olympic - Nghệ An TST - P1).

a) Viết $P(X)=a_d{X}^d+a_{d-1}{X}^{d-1}+\cdots +a_0$ với $a_d>0$ do $P^{\prime }(x)>0$, $\forall x\ge 1$.

Đặt $Q(n)=P(n+1)-P(n)-P^{\prime }(n)$ thì $Q$ là đa thức bậc $d-2$ có hệ số cao nhất bằng $a_d{C}_d^2$. Mặt khác, $P^{\prime }$ là đa thức bậc $d-1$ có hệ số cao nhất bằng $d{a}_d$. Vậy

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{nQ(n)}{P^{\prime }(n)}=\frac{a_d{C}_d^2}{d{a}_d}=\frac{d-1}{2}.$$

Vì $P^{\prime }(x)>0$ trên $[1,+\infty )$ nên $P$ tăng ngặt trên khoảng này. Bởi vậy $x_n>0$ với mọi $n\ge 1$ và

$$\frac{x_n}{x_{n+1}}=\frac{P(n+1)-P(n)}{P^{\prime }(n)}=1+\frac{y_n}{n}.$$

Do $d\ge 5$ nên tồn tại $N$ sao cho với mọi $n\ge N$ ta đều có $y_n\ge 1$. Khi đó với mọi $n\ge N$ thì

$$x_{n+1}\le \frac{x_n}{1+\frac{1}{n}}=\frac{n}{n+1}{x}_n.$$

Nhân liên tiếp các bất đẳng thức trên, với $n\ge N$ ta được

$$0<x_n\le \frac{N}{n}{x}_N.$$

Theo nguyên lý kẹp ta suy ra được $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$.

b) Chọn hai số thực $\alpha ,\beta$ sao cho $1<\alpha <\beta <\frac{d-1}{2}$.

Vì $y_n\to \frac{d-1}{2}$ nên $y_n>\beta$ với mọi $n$ đủ lớn.

Lại có $\underset{n\to \infty }{\lim }n\left({\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{\alpha }-1\right)=\alpha <\beta$ theo Lagrange cho hàm số $f(x)=x^{\alpha }$ trên $\left(1,1+\frac{1}{n}\right)$.

Do đó, với mọi $n$ đủ lớn, ta có được

$$1+\frac{y_n}{n}\ge 1+\frac{\beta }{n}\ge {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{\alpha }.$$

Từ $\frac{x_n}{x_{n+1}}=1+\frac{y_n}{n}$, ta thu được $x_{n+1}\le x_n{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{\alpha }$ với mọi $n$ đủ lớn.

Nhân liên tiếp để suy ra tồn tại hằng số $C>0$ sao cho

$$0<x_n\le \frac{C}{n^{\alpha }}$$

với mọi $n$ đủ lớn. Vì $\alpha >1$ nên chuỗi ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha }}$ hội tụ bằng cách sử dụng định lý Lagrange cho hàm số $g(x)=\frac{1}{x^{\alpha -1}}$ trên $(n,n+1)$. Theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi $z_n={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ hội tụ.

Nhận xét. Bản chất trong chứng minh trên ta đã chứng minh lại tiêu chuẩn Raabe như sau: Với chuỗi số thực dương $\sum a_n$ thoả mãn ${\lim }_{n\to \infty }n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)>1$ thì chuỗi hội tụ.