Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{a}_1=a\in \mathbb{R},\\ a_{n+1}=a_n+\frac{1-a_n^2}{n{a}_n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.\end{array}$$
a) Với $a=2$, chứng minh rằng dãy $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn.
b) Với $a>0$, chứng minh rằng $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}\ge n$ với mọi $n\ge 2$, $n\in \mathbb{N}$.

a) Ta có $a_1=2,a_2=\frac{1}{a_1}=\frac{1}{2},a_3=\frac{5}{4},a_4=\frac{11}{10}$.
Ta sẽ chứng minh quy nạp $a_n>1$ với mọi $n\ge 3$.
Thật vậy, giả sử mệnh đề đúng đến $n=k$. Xét $n=k+1$ ta có
$$a_{k+1}-1=a_k-1+\frac{1}{k{a}_k}(1-a_k^2)=(a_k-1)\left(1-\frac{1}{k{a}_k}(a_k+1)\right)=(a_k-1).\frac{(k-1)a_k-1}{k{a}_k}$$
Theo giả thiết quy nạp thì $a_k>1>\frac{1}{k-1}$, $(k\ge 3)$ nên suy ra $a_{k+1}>1$. Do đó mệnh đề đúng với mọi $n\ge 3$.
Ta sẽ chứng minh quy nạp $(a_n)$ giảm từ $a_3$ trở đi. Thật vậy, $a_3>a_4>1$. Giả sử $a_3>a_4>\cdots >a_n$. Ta sẽ chứng minh $a_n>a_{n+1}$. Thật vậy, $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n{a}_n}(1-a_n^2)<0$ nên $a_{n+1}<a_n$. Vậy dãy $(a_n)$ giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn hữu hạn.

b) Ta có $a_{n+1}=a_n+\frac{1-a_n^2}{n{a}_n}=a_n-\frac{a_n}{n}+\frac{1}{n{a}_n}$, $n\ge 1$. Từ $a_1=a>0$ và quy nạp suy ra $a_n>0$ với mọi $n\ge 1$.
Ta có $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n{a}_n}-\frac{a_n}{n}\iff a_{n+1}=\left(a_n-\frac{a_n}{n}\right)+\frac{1}{n{a}_n}\iff a_{n+1}=\frac{n-1}{n}{a}_n+\frac{1}{n{a}_n}$.
Suy ra $\frac{1}{a_n}=n{a}_{n+1}-(n-1)a_n$ với mọi $n\ge 1$. Khi đó
$$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}$$
$$=a_2+(2a_3-a_2)+(3a_4-2a_3)+\cdots +\left(n{a}_{n+1}-(n-1)a_n\right)=n{a}_{n+1}.$$
Ta chứng minh $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}\ge n$ với mọi $n\ge 2$ bằng quy nạp.
Với $n=2$, ta có $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}=a_2+\frac{1}{a_2}\ge 2$.
Giả sử $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}\ge n$. Ta chứng minh $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}\ge n+1$.
Nếu $a_{n+1}<1$ thì $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}\ge n+1$.
Nếu $a_{n+1}\ge 1$ thì ta có
$$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}=n{a}_{n+1}+\frac{1}{a_{n+1}}=(n-1)a_{n+1}+\left(a_{n+1}+\frac{1}{a_{n+1}}\right)\ge n-1+2=n+1.$$
Vậy theo quy nạp ta có điều phải chứng minh.