Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\frac{\sqrt{u_n^2+4u_n}+u_n}{2}\end{array}(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$$
Đặt $v_n=\sum _{i=1}^n\frac{1}{u_i^2}(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. Chứng minh rằng dãy số $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Hiển nhiên $u_n>0$ với mọi $n$. Từ công thức truy hồi, ta có $2u_{n+1}-u_n=\sqrt{u_n^2+4u_n}$ nên
$$u_{n+1}^2-u_n{u}_{n+1}=u_n.$$
Mặt khác, $\sqrt{u_n^2+4u_n}>u_n$, nên $u_{n+1}>u_n$. Nếu $(u_n)$ bị chặn trên thì vì dãy này tăng, dãy có giới hạn $L\ge u_1>0$. Cho $n$ tiến ra vô hạn trong đẳng thức trên sẽ cho $L^2-L^2=L$, vô lý. Do đó $u_n\to +\infty$.
Ta có $\frac{1}{u_{n+1}^2}=\frac{1}{u_n}-\frac{1}{u_{n+1}}$ và vì $u_1=\frac{1}{2}$ với $n\ge 2$ nên ta suy ra
$$v_n=\frac{1}{u_1^2}+\sum _{k=2}^n\frac{1}{u_k^2}=4+\sum _{k=2}^n\left(\frac{1}{u_{k-1}}-\frac{1}{u_k}\right)=6-\frac{1}{u_n}.$$
Do $u_n\to +\infty$, ta được ${\lim }_{n\to \infty }{v}_n=6$.

Kết luận (đáp án chính thức theo nguồn): dãy $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn và ${\lim }_{n\to \infty }{v}_n=6$.