Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định (không phải là đường kính). Điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$ ($A$ khác $B,C$). Đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ có tâm $I$ và tiếp xúc với ba cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $P$ là chân đường cao từ $D$ xuống $EF$. Các tia $BP,CP$ cắt các cạnh $AC,AB$ lần lượt tại $Y,Z$.
a) Chứng minh $YZ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I)$.
b) Tia $IP$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $R$. Chứng minh rằng khi $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ thì đường thẳng $RD$ luôn đi qua một điểm cố định.

a) $DP$ cắt đường tròn $(I)$ tại điểm thứ hai là $S$, $Y^{\prime }$ là giao điểm tiếp tuyến tại $S$ của $(I)$ với $AC$, $G$ là giao điểm $ES$ và $DF$. Khi đó $ES$ và $DF$ lần lượt là đường đối cực của điểm $Y^{\prime }$ và $B$ đối với đường tròn $(I)$, suy ra $G$ là cực của $B{Y}^{\prime }$. Mà chú ý rằng $P$ là giao $EF$ và $DS$ nên $P$ và $G$ liên hợp hợp đối với $(I)$. Vậy $B,P,Y^{\prime }$ thẳng hàng hay $Y^{\prime }\equiv Y$. Chứng minh tương tự, ta suy ra $SY,SZ$ là tiếp tuyến của $(I)$, hay $YZ$ tiếp xúc $(I)$.

b) Xét $f={\mathcal{I}}_I^{I{D}^2}$ là phép nghịch đảo tâm $I$ phương tích $I{D}^2$ (nghịch đảo qua $(I)$) và gọi $R^{\prime }=f(P)$. Khi này ta có $A,B,C$ qua $f$ trở thành trung điểm $EF,FD,ED$ nên $(ABC)$ qua $f$ trở thành đường tròn euler của tam giác $DEF$, mà $P$ thuộc đường tròn đó nên $R^{\prime }=f(P)\in (ABC)$, do đó $R\equiv R^{\prime }$.
Hơn nữa, ta cũng có $f(E)=E$ và $f(F)=F$ nên $f$ biến $EF$ thành $(IEF)$ do đó $R\in (IEF)$. Gọi $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ của $(O)$ thì ta có ngay $MB=MC=MI$. Xét phép nghịch đảo $g={\mathcal{I}}_M^{M{B}^2}$ biến $B,C$ thành $B,C$ do đó biến $(O)$ thành $BC$ nên biến $A$ thành giao điểm $D^{\prime }$ của $AM$ với $BC$. Khi ấy, $g$ sẽ biến đường tròn đường kính $IA$ thành đường tròn đường kính $I{D}^{\prime }$, từ đó ta được
$$g(\{R,A\})=g((IA)\cap (O))=(I{D}^{\prime })\cap BC=\{D,D^{\prime }\}\Rightarrow g(R)=D.$$
Từ đây ta có được $RD$ luôn đi qua $M$ là điểm cố định. $\square$