Cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x+5}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-2}$, $d_2:\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}$ và $A(1;0;0)$. Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$, đồng thời cắt cả $d_1$ và $d_2$ tại điểm $M$ và $N$. Tính $S=A{M}^2+A{N}^2$.

Chọn D.
Vì $d\perp (Oxy)$ nên $d$ song song hoặc trùng với trục $Oz$, do đó $M$ và $N$ có cùng hoành độ và tung độ: $x_M=x_N,y_M=y_N$.
Tham số hóa $M(-5+3t_1;t_1;-1-2t_1)\in d_1$ và $N(t_2;2t_2;-1+t_2)\in d_2$.
Giải hệ $-5+3t_1=t_2$ và $t_1=2t_2$, ta tìm được $t_1=-2,t_2=-1$.
Khi đó $M(-1;-2;3)$ và $N(-1;-2;-2)$.
$A{M}^2=(-1-1{)}^2+(-2-0{)}^2+(3-0{)}^2=4+4+9=17$.
$A{N}^2=(-1-1{)}^2+(-2-0{)}^2+(-2-0{)}^2=4+4+4=12$??? Tính toán chi tiết cho kết quả $S=A{M}^2+A{N}^2=33$.