Cho hàm số bậc bốn $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$ ($a,b,c,d,e\in \mathbb{R}$), biết $f\left(\frac{1}{2}\right)=-1$ và đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ. Hàm số $g(x)=2f(x)-x^2+2x$ đồng biến trên khoảng nào?