Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp 2 liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f^{\prime }(1)=2021$ và $f(1-x)+x^2{f}^{\prime \prime }(x)=3x,\forall x\in \mathbb{R}$. Tính $I={\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)dx$.

Chọn D.
Tích phân từng phần: $I=[xf(x){]}_0^1-{\int }_0^{1}f(x)dx=f(1)-{\int }_0^{1}f(x)dx$.
Từ giả thiết, lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế của phương trình $f(1-x)+x^2{f}^{\prime \prime }(x)=3x$, kết hợp tích phân từng phần của ${\int }_0^1{x}^2{f}^{\prime \prime }(x)dx$, ta tìm được $I=\frac{2020}{3}$.