Cho hai góc $\alpha$ và $\beta$ thỏa mãn $\tan \alpha =\frac{3}{4}$ và $\tan \beta =\frac{1}{7}$. Biết $\tan (\alpha -\beta )=\frac{m}{n}$ $(m\in \mathbb{Z},$ $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản$)$. Tính giá trị của biểu thức $m^2+n^2$.