Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $M$ và trên cạnh $BF$ lấy điểm $N$ sao cho $\frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BF}=k$. Tìm $k$ để $MN//DE$. Kết quả chính xác đến hàng phần trăm.

Ta có: $MN//DE$ nên bốn điểm $M,N,D,E$ đồng phẳng. Trong mặt phẳng $(MNED)$, gọi $I=DM\cap NE\Rightarrow I\in AB,AB=(ABCD)\cap (ABEF)$, khi đó: $\frac{IM}{DM}=\frac{IN}{NE}$. Theo giả thiết, ta có: $\frac{AM}{AC}=k(1)\Rightarrow \frac{AC-MC}{AC}=k\Rightarrow 1-\frac{MC}{AC}=k\Rightarrow \frac{MC}{AC}=1-k(2)$. Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AM}{MC}=\frac{k}{1-k}$; tương tự ta chứng minh được $\frac{BN}{FN}=\frac{k}{1-k}$. Vì $AB//CD$ nên $\frac{IM}{DM}=\frac{IA}{DC}=\frac{AM}{MC}=\frac{k}{1-k}$; vì $AB//EF$ nên $\frac{IN}{NE}=\frac{BI}{EF}=\frac{BN}{NF}=\frac{k}{1-k}$. Mặt khác $\frac{AI}{DC}+\frac{BI}{EF}=\frac{AI}{FE}+\frac{BI}{EF}=1\Rightarrow 2\cdot \frac{k}{1-k}=1\Rightarrow 2k=1-k\Rightarrow k=\frac{1}{3}$. Vậy với $k=\frac{1}{3}$ thì $MN//DE$. (Đáp số ghi 0,33 theo yêu cầu chính xác đến hàng phần trăm.)