Cho hàm số bậc ba $f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ sao cho đồ thị hàm số $g(x)=\frac{1}{f(x)-m}$ có đúng ba đường tiệm cận?

Với mọi $m$, ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }g(x)=0$, suy ra hàm số $y=g(x)$ luôn luôn có đúng một đường tiệm cận ngang là $y=0$.
Suy ra đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận khi và chỉ khi có đúng hai đường tiệm cận đứng, tức là phương trình $f(x)-m=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có $[\begin{array}{l}m=1\\ m=3\end{array}$.
Vậy có $2$ giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.