Xét các số phức $z$ thỏa mãn $|z-2+3i|=2|z+1|$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z|$. Giá trị của $M+m$ bằng

Đặt $z=x+yi$, $x,y\in \mathbb{R}$. Từ giả thiết ta có:
$|x+yi-2+3i|=2|x+yi+1|\iff (x-2{)}^2+(y+3{)}^2=4[(x+1{)}^2+y^2]\iff x^2+y^2+4x-2y-3=0$.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(-2;1)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Ta thấy $OI=\sqrt{5}<R$ nên điểm $O$ nằm bên trong đường tròn $(C)$.
Do đó $M=\max |z|={\max }_{M\in (C)}OM=R+OI$ và $m=\min |z|={\min }_{M\in (C)}OM=R-OI$.
Vậy $M+m=2R=4\sqrt{2}$.