Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f^{\prime }(x)$ và $g(x)=f^{\prime \prime }(x)+bx-c$ bằng

Ta có $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$.
Đồ thị hàm số đi qua điểm $(-2;0)$, $(3;-5)$ và hàm số đạt cực trị tại $x=-1$ và $x=3$ nên ta có hệ phương trình:
$\{\begin{array}{l}-8a+4b-2c+d=0\\ 27a+9b+3c+d=-5\\ 3a-2b+c=0\\ 27a+6b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{1}{5}\\ b=-\frac{3}{5}\\ c=-\frac{9}{5}\\ d=\frac{2}{5}\end{array}$.
Khi đó $f(x)=\frac{1}{5}{x}^3-\frac{3}{5}{x}^2-\frac{9}{5}x+\frac{2}{5}$; $f^{\prime }(x)=\frac{3}{5}{x}^2-\frac{6}{5}x-\frac{9}{5}$, $f^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{5}x-\frac{6}{5}$ và $g(x)=\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $f^{\prime }(x)$ và $g(x)$:
$\frac{3}{5}{x}^2-\frac{6}{5}x-\frac{9}{5}=\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}\iff [\begin{array}{l}x=-1\\ x=4\end{array}$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $f^{\prime }(x)$ và $g(x)$ bằng:
${\int }_{-1}^4\left|\frac{3}{5}{x}^2-\frac{9}{5}x-\frac{12}{5}\right|\mathrm{d}x=\frac{25}{2}$.