Cho hàm số đa thức $y=f(x)$. Biết $f^{\prime }(0)=3$, $f^{\prime }(2)=-2018$ và bảng xét dấu của $f^{\prime \prime }(x)$ như sau:



Hàm số $y=f(x+2017)+2018x$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x_0$ thuộc khoảng nào sau đây?

Xét hàm số $g(x)=f(x+2017)+2018x$, ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x+2017)+2018$. Đặt $t=x+2017$. Từ bảng xét dấu của $f^{\prime \prime }(t)$ và $f^{\prime }(0)=3,f^{\prime }(2)=-2018$, suy ra $f^{\prime }(t)$ đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$, đạt cực tiểu tại $t=2$ với $f^{\prime }(2)=-2018$. Do đó $f^{\prime }(t)+2018\ge 0,\forall t>0$ và phương trình $f^{\prime }(t)=-2018$ có nghiệm đơn $t_0<0$ (nơi $f^{\prime }(t)+2018$ đổi dấu từ âm sang dương). Vậy $g(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_0=t_0-2017<-2017$, tức $x_0\in (-\infty ;-2017)$.