Cho hàm số $f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3-m{x}^2+\left(m^2-9\right)x+3$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f(|x|)$ có đúng $1$ điểm cực đại?

Ta có $f^{\prime }(x)=-x^2-2mx+m^2-9$.
Để hàm số chẵn $y=f(|x|)$ có đúng $1$ điểm cực đại (tại $x=0$ với ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(|x|)=-\infty$) thì hàm số $y=f(x)$ không có điểm cực trị dương, tức là:
- TH1: $f^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff {\Delta }^{\prime }=2m^2-9\le 0\iff -\frac{3\sqrt{2}}{2}\le m\le \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
- TH2: Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt không dương $x_1<x_2\le 0\iff \{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }>0\\ S=-2m<0\\ P=9-m^2\ge 0\end{array}\iff \frac{3\sqrt{2}}{2}<m\le 3$.
Kết hợp hai trường hợp ta được $-\frac{3\sqrt{2}}{2}\le m\le 3$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2;-1;0;1;2;3\}$. Vậy có $6$ giá trị nguyên của tham số $m$.