Cho hàm số $f(x)=|2x^3-9x^2+12x+m+2|$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in [-20;20]$ sao cho với mọi số thực $a,b,c\in [1;3]$ thì $f(a);f(b);f(c)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Xét $g(x)=2x^3-9x^2+12x+m+2$ trên $[1;3]$, ta có ${\min }_{[1;3]}g(x)=g(2)=m+6$ và ${\max }_{[1;3]}g(x)=g(3)=m+11$. Yêu cầu bài toán tương đương $2{\min }_{[1;3]}f(x)>{\max }_{[1;3]}f(x)>0$. Trường hợp 1: $m+6>0\Rightarrow 2(m+6)>m+11\iff m>-1$, có $21$ giá trị nguyên $m\in [0;20]$. Trường hợp 2: $m+11<0\Rightarrow 2(-m-11)>-m-6\iff m<-16$, có $4$ giá trị nguyên $m\in [-20;-17]$. Tổng cộng có $21+4=25$ giá trị nguyên của $m$. Chọn đáp án C.