Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx-6$ và $g(x)=m{x}^2+nx$ có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên (phần gạch chéo trong hình) bằng?


Chọn A.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
$$f(x)-g(x)=a{x}^3+(b-m)x^2+(c-n)x-6=0.$$
Dựa vào đồ thị, hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ $x=-3,x=-1,x=2$.
Do đó đa thức hiệu phân tích thành:
$$f(x)-g(x)=a(x+3)(x+1)(x-2).$$
Khai triển hệ số tự do: $a\cdot 3\cdot 1\cdot (-2)=-6a$.
Theo đề bài, hệ số tự do là $-6$, do đó $-6a=-6⟹a=1$.
Vậy $f(x)-g(x)=(x+3)(x+1)(x-2)=(x^2+4x+3)(x-2)=x^3+2x^2-5x-6$.
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo là:
$$S={\int }_{-3}^2|f(x)-g(x)|dx={\int }_{-3}^{-1}(x^3+2x^2-5x-6)dx-{\int }_{-1}^2(x^3+2x^2-5x-6)dx.$$
Tính tích phân từng đoạn:
- ${\int }_{-3}^{-1}(x^3+2x^2-5x-6)dx={\left(\frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}-6x\right)|}_{-3}^{-1}=\frac{10}{3}$.
- ${\int }_{-1}^2(x^3+2x^2-5x-6)dx={\left(\frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}-6x\right)|}_{-1}^2=-\frac{63}{4}+\cdots =-\frac{38}{3}$.
Tổng diện tích $S=\frac{10}{3}+\frac{38}{3}=16$.