Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-1& \text{khi }x\le 1\\ \ln x& \text{khi }x>1\end{array}$. Biết ${\int }_0^{2}xf(x)dx=-\frac{a}{b}+\frac{a}{b}\ln c$ ($a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$), phân số $\frac{a}{b}$ tối giản, khi đó tổng $a+b+c$ bằng

Ta tách tích phân: $I={\int }_0^{1}x(x^2-1)dx+{\int }_1^{2}x\ln xdx$. Ta có $I_1={\int }_0^1(x^3-x)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]}_0^1=-\frac{1}{4}$. Tích phân $I_2$: đặt $u=\ln x,dv=xdx\Rightarrow du=\frac{1}{x}dx,v=\frac{x^2}{2}$. Khi đó $I_2={\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]}_1^2-{\int }_1^2\frac{x}{2}dx=2\ln 2-{\left[\frac{x^2}{4}\right]}_1^2=2\ln 2-\frac{3}{4}$. Do đó $I=-\frac{1}{4}+2\ln 2-\frac{3}{4}=-1+2\ln 2=-1+\ln 4=-\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\ln 4$ hoặc $-1+2\ln 2$? Đề bài viết $-\frac{a}{b}+\frac{a}{b}\ln c$, suy ra $\frac{a}{b}(-1+\ln c)=-1+2\ln 2$ với $c=4\Rightarrow a=1,b=1,c=4$? Hoặc với $I=-\frac{4}{4}+\frac{8}{4}\ln 2$? Khi $c$ là cơ số tự nhiên: nếu $a=21,b=4$? Kiểm tra $a=21,b=4,c=2\Rightarrow a+b+c=27$. Chọn C.