Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $(-1;+\infty )$ và thỏa mãn $2f(x)+(x^2-1)f^{\prime }(x)=\frac{x(x+1{)}^2}{\sqrt{x^2+3}},\forall x\in (-1;+\infty )$. Giá trị $f(0)$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Với mọi $x\in (-1;+\infty )$, chia hai vế của đẳng thức cho $(x+1{)}^2>0$, ta được:
$\frac{2}{(x+1{)}^2}f(x)+\frac{x-1}{x+1}{f}^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}\iff {\left[\frac{x-1}{x+1}f(x)\right]}^{\prime }={\left(\sqrt{x^2+3}\right)}^{\prime }$.
Lấy nguyên hàm hai vế trên $(-1;+\infty )$, ta có:
$\frac{x-1}{x+1}f(x)=\sqrt{x^2+3}+C$.
Thay $x=1$ vào đẳng thức trên: $0=\sqrt{4}+C\Rightarrow C=-2$.
Thay $x=0$ vào đẳng thức trên: $-f(0)=\sqrt{3}-2\Rightarrow f(0)=2-\sqrt{3}\approx 0,268\in (0;1)$.
Chọn đáp án D.