Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị trong hình bên:



Phương trình $f[f(\cos x)-1]=0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi ]$?

Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy phương trình $f(u)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $u_1,u_2,u_3$ thỏa mãn:
$u_1\approx -1.8<-1,u_2=1,u_3=2$.
Đặt $u=f(\cos x)-1$, phương trình $f(u)=0$ tương đương với:
1. $f(\cos x)-1=u_1⟺f(\cos x)=1+u_1<0$ (vô nghiệm hoặc không có nghiệm phù hợp trong miền giá trị của $\cos x$).
2. $f(\cos x)-1=1⟺f(\cos x)=2$.
3. $f(\cos x)-1=2⟺f(\cos x)=3$.
Vì $x\in [0;2\pi ]$ nên $t=\cos x\in [-1;1]$.
Xét hàm số $f(t)$ trên đoạn $[-1;1]$:
Đồ thị cho thấy $f(t)$ đạt cực đại bằng 1 tại $t=0$ và cực tiểu bằng $-3$ tại $t=-1,t=1$.
Do đó với mọi $t\in [-1;1]$ ta có $-3\le f(t)\le 1$.
Các phương trình $f(t)=2$ và $f(t)=3$ vô nghiệm.
Phương trình $f(t)=1+u_1\in (-1;0)$ có đúng 2 nghiệm $t_1,t_2\in (-1;1)$.
Mỗi giá trị $t\in (-1;1)$ cho 2 nghiệm $x\in [0;2\pi ]$.
Tổng số nghiệm của phương trình trên đoạn $[0;2\pi ]$ là $2\times 2=4$ nghiệm.