Cho hàm số $f(x)$, đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong trong hình bên.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)=f(x^2)-2x^2$ trên đoạn $[-1;2]$ là:

Đặt $t=x^2$, với $x\in [-1;2]\Rightarrow t\in [0;4]$. Xét hàm số $h(t)=f(t)-2t$ trên $[0;4]$. Ta có $h^{\prime }(t)=f^{\prime }(t)-2$. Dựa vào đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, trên khoảng $(0;2)$ đồ thị $y=f^{\prime }(t)$ nằm phía trên đường thẳng $y=2$ nên $h^{\prime }(t)>0$. Trên khoảng $(2;4)$ đồ thị $y=f^{\prime }(t)$ cũng nằm phía trên hoặc bằng $2$ nên $h^{\prime }(t)\ge 0$. Do đó hàm số $h(t)$ đồng biến trên $[0;4]$. Giá trị nhỏ nhất của $h(t)$ trên $[0;4]$ đạt được tại $t=0$, bằng $h(0)=f(0)-0=f(0)$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $g(x)$ trên $[-1;2]$ là $f(0)$. Chọn C.