Cho hàm số $f(x)$ là đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số $g(x)=e^{x^2-1}(f(x+1){)}^3$ là

Ta có: $g^{\prime }(x)=2x{e}^{x^2-1}(f(x+1){)}^3+e^{x^2-1}\cdot 3(f(x+1){)}^2{f}^{\prime }(x+1)$
$=e^{x^2-1}(f(x+1){)}^2[2xf(x+1)+3f^{\prime }(x+1)].$
Vì $(f(x+1){)}^2\ge 0$ nên nghiệm của phương trình $f(x+1)=0$ là các nghiệm bội chẵn, qua đó đạo hàm $g^{\prime }(x)$ không đổi dấu.
Do đó các điểm cực trị của $g(x)$ là các nghiệm đơn (hoặc nghiệm bội lẻ) của phương trình:
$2xf(x+1)+3f^{\prime }(x+1)=0.$
Từ đồ thị $f(x)$ có 3 điểm cực trị và tiếp xúc trục hoành, phân tích hàm số bậc bốn và lập bảng biến thiên ta tìm được phương trình có đúng 4 nghiệm đổi dấu.
Vậy hàm số $g(x)$ có 4 điểm cực trị.
Chọn A.