Cho hàm số $f(x)=(m-2)x^3+x^2-(m+1)x+1$. Có bao nhiêu tham số $m$ nguyên nằm trong khoảng $(-20;20)$ để hàm số $y=f(|x|)$ có đúng $3$ điểm cực trị?

Hàm số chẵn $y=f(|x|)$ có đúng $3$ điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $f(x)$ có đúng $1$ điểm cực trị dương. Ta có $f^{\prime }(x)=3(m-2)x^2+2x-(m+1)$. Với $m=2$, $f^{\prime }(x)=2x-3$ có $1$ nghiệm dương $x=\frac{3}{2}$ (thỏa mãn). Với $m\ne 2$, $f^{\prime }(x)=0$ có đúng $1$ nghiệm dương đơn khi tích hai nghiệm $P=-\frac{m+1}{3(m-2)}<0⟺m\in (-\infty ;-1)\cup (2;+\infty )$, hoặc có một nghiệm bằng $0$ và nghiệm kia dương: tại $m=-1$, $f^{\prime }(x)=-9x^2+2x=0$ có nghiệm $x=\frac{2}{9}>0$ (thỏa mãn). Vậy $m\in (-\infty ;-1]\cup [2;+\infty )$. Trong khoảng $(-20;20)$ ta loại $m\in \{0;1\}$, còn lại $39-2=37$ giá trị nguyên.