Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x}$ $(x\ne 0)$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x}=x-1-\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$.

m) $2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne x-1-\frac{1}{x}=f(x)$, nên mệnh đề SAI.

n) Nguyên hàm đúng phải là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$. Với $F(x)=x^2-x-\ln x$ thì $F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)$, nên mệnh đề SAI.

o) Họ nguyên hàm đúng là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$, nên mệnh đề SAI.

p) Với $x>0$: $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln x+C$. Từ $F(1)=\frac{1}{2}-1+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$. Khi đó $F(2)=2-2-\ln 2+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$, nên mệnh đề SAI.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: cả bốn mệnh đề đều Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne f(x)=x-1-\frac{1}{x}$, nên SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)$; nguyên hàm đúng là $\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, nên SAI.
c) (AI giải đề cho tôi)
Họ nguyên hàm là $\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$, nên SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$, suy ra $F(2)=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$, nên SAI.