Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+2$. Tìm tổng các số nguyên $m$ sao cho phương trình $f(x^3-3x)=m$ có $7$ nghiệm phân biệt.

Đặt $t=x^3-3x(1)$. Ta có bảng biến thiên của hàm số $t=x^3-3x$:

[IMAGE_1]

Khi đó ta có: $f(x^3-3x)=m\iff f(t)=m\iff t^3-3t^2+2=m(2)$.
Để phương trình $(1)$ có $7$ nghiệm phân biệt thì phương trình $(2)$ có $3$ nghiệm $t$ trong đó có $2$ nghiệm $t\in (-2;2)$ và $1$ nghiệm $t>2$ hoặc $t<-2$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=t^3-3t^2+2$:

[IMAGE_2]

Dựa vào bảng biến thiên, để thỏa mãn yêu cầu trên thì $m\in (-2;2)\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m\in \{-1;0;1\}\Rightarrow \sum m=0$.