Cho hàm số $f(x)=x^4-18x^2+4$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$, tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(-3;2)$ của phương trình $f(x^2+2x+3)=m$ bằng $-4$

Đặt $g(x)=f(x^2+2x+3)$ trên $(-3;2)$. Nhận thấy đồ thị $g(x)$ nhận đường thẳng $x=-1$ làm trục đối xứng và $(-3;2)$ chứa đoạn đối xứng $(-3;1)$. Lập bảng biến thiên của $g(x)$ với $g(-1)=f(2)=-52$ và $g(-2)=g(0)=f(3)=-77$, phương trình $g(x)=m$ có $4$ nghiệm phân biệt thuộc $(-3;2)$ (có tổng bằng $2\cdot (-2)=-4$) khi và chỉ khi $-77<m<-52$. Vậy có $24$ giá trị nguyên của $m$.