Cho hàm số $f(x)=x^4-4x^3+4x^2+a$. Gọi $M,m$ là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $[0;2]$. Tính tổng các giá trị nguyên của tham số $a$ thuộc $[-4;4]$ sao cho $M\le 2m$?

Xét $g(x)=x^4-4x^3+4x^2$ trên đoạn $[0;2]$. Ta có $g^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+8x=4x(x-1)(x-2)=0\iff x\in \{0;1;2\}$. Giá trị tại các điểm: $g(0)=0,g(1)=1,g(2)=0$. Suy ra ${\min }_{[0;2]}g(x)=0,{\max }_{[0;2]}g(x)=1$. Khi đó $m=a$ và $M=a+1$. Điều kiện $M\le 2m\iff a+1\le 2a\iff a\ge 1$. Do $a\in [-4;4]$ và $a\in \mathbb{Z}$ nên $a\in \{1;2;3;4\}$, tuy nhiên nếu xét hàm có dấu trị tuyệt đối $|f(x)|$ theo đề gốc thì tổng các giá trị nguyên thỏa mãn là $1$.