Cho hàm số $f(x)=\ln \frac{x}{x+1}$. Tính tổng $S=f^{\prime }(1)+f^{\prime }(2)+\cdots +f^{\prime }(2020)$.

Chọn D.
Ta có $f(x)=\ln x-\ln (x+1)$ với mọi $x>0$.
Đạo hàm là:
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}.$$
Khi đó tổng $S$ là tổng sai phân triệt tiêu:
$$S=f^{\prime }(1)+f^{\prime }(2)+\cdots +f^{\prime }(2020)$$
$$=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2020}-\frac{1}{2021}\right)$$
$$=1-\frac{1}{2021}=\frac{2020}{2021}.$$