Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{-1}$ và cắt hai đường thẳng $d_1:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-1}$; $d_2:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{3}$ là:

Chọn B.
Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm. Vì $\Delta \parallel d$ nên $\Delta$ có VTPT cùng phương với ${\vec{u}}_d=(1;1;-1)$.
Gọi $M=\Delta \cap d_1⟹M(-1+2t_1;-1+t_1;2-t_1)$.
Gọi $N=\Delta \cap d_2⟹N(1-t_2;2+t_2;3+3t_2)$.
Ta có $\overrightarrow{MN}=(2-t_2-2t_1;3+t_2-t_1;1+3t_2+t_1)$.
Vì $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với ${\vec{u}}_d=(1;1;-1)$ nên tồn tại $k\ne 0$ sao cho:
$$\{\begin{array}{l}2-2t_1-t_2=k\\ 3-t_1+t_2=k\\ 1+t_1+3t_2=-k\end{array}$$
Cộng phương trình (2) và (3): $4+4t_2=0⟺t_2=-1$.
Thay $t_2=-1$ vào (1) và (2):
$$\{\begin{array}{l}3-2t_1=k\\ 2-t_1=k\end{array}⟹3-2t_1=2-t_1⟺t_1=1.$$
Khi đó $k=2-1=1\ne 0$.
Điểm $M$ ứng với $t_1=1$ là $M(1;0;1)$.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(1;0;1)$ và có VTCP $\vec{u}=(1;1;-1)$ có phương trình:
$$\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}.$$