Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, cạnh $BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Biết tứ giác $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình thoi có góc $\widehat{B^{\prime }BC}$ nhọn. Biết $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (ABC)$ và $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ tạo với $(ABC)$ góc $45^{\circ }$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Chọn A.
Đáy $ABC$ vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=60^{\circ },BC=2a$:
$$AB=BC\cos 60^{\circ }=a,AC=BC\sin 60^{\circ }=a\sqrt{3}.$$
Diện tích tam giác đáy là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Vì $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (ABC)$ theo giao tuyến $BC$, kẻ $B^{\prime }H\perp BC$ ($H\in BC$) thì $B^{\prime }H\perp (ABC)$, do đó $h=B^{\prime }H$.
Kẻ $HK\perp AB$ tại $K$, thì $B^{\prime }K\perp AB$, góc giữa $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(ABC)$ là $\widehat{B^{\prime }KH}=45^{\circ }$.
Suy ra tam giác $B^{\prime }HK$ vuông cân tại $H$, do đó $B^{\prime }H=HK$.
Đặt $BH=x$ ($0<x<2a$). Trong tam giác vuông $BKH$ vuông tại $K$, góc $\widehat{HBK}=\widehat{CBA}=60^{\circ }$, nên:
$$HK=BH\sin 60^{\circ }=x\frac{\sqrt{3}}{2}⟹B^{\prime }H=x\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Mặt khác, $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình thoi nên $B{B}^{\prime }=BC=2a$.
Trong tam giác vuông $B^{\prime }HB$ vuông tại $H$:
$$B^{\prime }{H}^2+B{H}^2=B{B}^{\prime 2}⟺\frac{3x^2}{4}+x^2=4a^2⟺\frac{7x^2}{4}=4a^2⟺x^2=\frac{16a^2}{7}⟺x=\frac{4a}{\sqrt{7}}.$$
Suy ra chiều cao lăng trụ là:
$$h=B^{\prime }H=\frac{4a}{\sqrt{7}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.$$
Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là:
$$V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{3a^3}{\sqrt{7}}.$$