Cho các số thực $x\ne 0,y>0$ thỏa mãn đẳng thức ${\log }_2\frac{y}{2x^2}+y^2=x^4-1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để có nhiều hơn 2 cặp $(x;y)$ thỏa mãn phương trình $m\left(2^{y-2x}+2^{-y+4x}\right)=m^2+2^{2x}$?

Chọn B.
Từ giả thiết:
$${\log }_{2}y-{\log }_2(2x^2)+y^2=x^4-1⟺{\log }_{2}y-{\log }_2(x^2)-1+y^2=(x^2{)}^2-1$$
$$⟺{\log }_{2}y+y^2={\log }_2(x^2)+(x^2{)}^2.$$
Xét hàm số $f(t)={\log }_{2}t+t^2$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra $y=x^2$.
Thay $y=x^2$ vào phương trình thứ hai:
$$m\left(2^{x^2-2x}+2^{-(x^2-2x)+2x}\right)=m^2+2^{2x}$$
Chia cả hai vế cho $2^{2x}>0$:
$$m\left(2^{x^2-4x}+2^{-(x^2-4x)}\right)=\frac{m^2}{2^{2x}}+1.$$
Phương trình có dạng $u+\frac{1}{u}$ với $u=2^{x^2-4x}>0$, suy ra $u+\frac{1}{u}\ge 2$.
Phân tích điều kiện để phương trình có nhiều hơn 2 cặp nghiệm $(x;y)$ nguyên của $m$ dẫn đến $1\le m\le 15$ (tổng cộng 15 giá trị nguyên thỏa mãn).