Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị $(C)$. Biết $f(-1)=0$. Tiếp tuyến $d$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ của $(C)$ cắt $(C)$ tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2. Gọi $S_1,S_2$ là diện tích hình phẳng (phần gạch chéo trong hình vẽ). Tính $S_2$, biết $S_1=\frac{401}{2022}$.

Từ đồ thị $(C)$ nhận thấy $a>0,b<0,c>0$.
Ta có $f(-1)=0⟹a+b+c=0$ (1).
Điểm tiếp xúc là $A(-1;0)$. Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=4a{x}^3+2bx⟹f^{\prime }(-1)=-4a-2b$.
Phương trình tiếp tuyến $d$ tại điểm $A(-1;0)$ là: $y=(-4a-2b)(x+1)$.
Tiếp tuyến $d$ cắt $(C)$ tại các điểm có hoành độ $-1$ (nghiệm kép), $0$ và $2$, nên:
$f(x)-d(x)=a(x+1{)}^{2}x(x-2)$
Khai triển:
$f(x)-d(x)=a(x^2+2x+1)(x^2-2x)=a(x^4-3x^2-2x)$
Do đó $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn từ $x=-1$ đến $x=0$:
$S_1={\int }_{-1}^0|f(x)-d(x)|dx=a{\int }_{-1}^0-(x^4-3x^2-2x)dx=a{\left[-\frac{x^5}{5}+x^3+x^2\right]}_{-1}^0=a\left(-\frac{1}{5}+1-1\right)=\frac{a}{5}$
Theo đề bài $S_1=\frac{401}{2022}⟹\frac{a}{5}=\frac{401}{2022}⟹a=\frac{2005}{2022}$.

Diện tích $S_2$ giới hạn từ $x=0$ đến $x=2$:
$S_2={\int }_0^2|f(x)-d(x)|dx=a{\int }_0^2-(x^4-3x^2-2x)dx=a{\left[-\frac{x^5}{5}+x^3+x^2\right]}_0^2=a\left(-\frac{32}{5}+8+4\right)=a\cdot \frac{28}{5}$
Thay giá trị $a$ vào:
$S_2=\frac{28}{5}\cdot \frac{2005}{2022}=28\cdot \frac{401}{2022}=\frac{11228}{2022}=\frac{5614}{1011}.$