Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $6f(x^2-4x)=m$ có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng $(0;+\infty )$?

Đặt $t=x^2-4x$ với $x\in (0;+\infty )$. Mỗi $t\in (-4;0)$ cho $2$ nghiệm $x>0$, mỗi $t\in [0;+\infty )$ cho $1$ nghiệm $x>0$, và $t=-4$ cho $1$ nghiệm $x=2$. Khảo sát hàm $g(t)=6f(t)$ trên $[-4;+\infty )$, phương trình $6f(x^2-4x)=m$ có ít nhất $3$ nghiệm thực phân biệt thuộc $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi $-12\le m\le 12$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên có $25$ giá trị nguyên.