Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2(x^2-2x)$, với $\forall x\in \mathbb{R}$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g(x)=f(x^3-3x^2+m)$ có $8$ điểm cực trị là

Ta có $g^{\prime }(x)=(3x^2-6x)f^{\prime }(x^3-3x^2+m)$. Nghiệm bội lẻ của $f^{\prime }(t)=0$ là $t=0$ và $t=2$ (nghiệm $t=1$ là nghiệm bội chẵn nên không làm đổi dấu). Do đó $g^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $x=0,x=2$ và các nghiệm đơn của hai phương trình $x^3-3x^2=-m$ (1) và $x^3-3x^2=-m+2$ (2). Xét $h(x)=x^3-3x^2$ có $h_{\text{CĐ}}=h(0)=0$ và $h_{\text{CT}}=h(2)=-4$. Để $g(x)$ có $8$ điểm cực trị thì cả hai phương trình (1) và (2) đều phải có $3$ nghiệm phân biệt khác $0$ và $2$, tức là $\{\begin{array}{l}-4<-m<0\\ -4<-m+2<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}0<m<4\\ 2<m<6\end{array}\iff 2<m<4$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=3$, có $1$ giá trị. Chọn C.