Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^3(1-2x{)}^2(x-2)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Vì $(1-2x{)}^2\ge 0$, dấu của $f^{\prime }(x)$ phụ thuộc vào $(x-1{)}^3(x-2)$, có cùng dấu với $(x-1)(x-2)$. Ta có $(x-1)(x-2)<0\iff 1<x<2$. Do đó $f^{\prime }(x)\le 0$ trên $(1;2)$ (với nghiệm $x=\frac{1}{2}$ nằm ngoài khoảng). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;2)$. Chọn B.