Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x(x+1)(x^2+2x+m)$ trên $\mathbb{R}$. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc $[-10;10]$ của $m$ để hàm số $y=f(x)$ có $4$ điểm cực trị?

Hàm số $y=f(x)$ có $4$ điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có $4$ nghiệm phân biệt. Nói cách khác, phương trình $x^2+2x+m=0$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $0$ và $-1$:
$\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }=1-m>0\\ 0^2+2.0+m\ne 0\\ (-1{)}^2+2(-1)+m\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<1\\ m\ne 0\\ m\ne 1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<1\\ m\ne 0\end{array}$.
Các giá trị nguyên của $m$ thuộc $[-10;10]$ thỏa yêu cầu bài toán là $-10;-9;-8;\dots ;-1$ (có $10$ giá trị).