Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_3^2(3x)-2{\log }_3{x}^2=\frac{x^2-6x+9}{4}$.

Điều kiện của phương trình $x>0$.
Ta có ${\log }_3^2(3x)-2{\log }_3{x}^2=\frac{x^2-6x+9}{4}\iff (1+{\log }_{3}x{)}^2-4{\log }_{3}x={\left(\frac{x-3}{2}\right)}^2\iff (1-{\log }_{3}x{)}^2={\left(\frac{x-3}{2}\right)}^2\iff [\begin{array}{l}{\log }_{3}x=\frac{-x+5}{2}(2)\\ {\log }_{3}x=\frac{x-1}{2}(3)\end{array}$.
+ Phương trình $(2)$ có nghiệm duy nhất $x=3$ vì hàm số $y={\log }_{3}x$ đồng biến, hàm số $y=\frac{-x+5}{2}$ nghịch biến.
+ Xét $g(x)={\log }_{3}x-\frac{x-1}{2}$ có $g^{\prime \prime }(x)=\frac{-1}{x^2\ln 3}<0$, nên phương trình $(3)$ có không quá $2$ nghiệm. Thử trực tiếp thấy $(3)$ có $2$ nghiệm $x=1,x=3$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $\{1;3\}$ và tổng các nghiệm là $1+3=4$.