Tìm số các số nguyên dương $a$ không vượt quá $10$ để phương trình $9^{1-\frac{1}{x^2}}-a.3^{1-\frac{1}{x^2}}+2=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Điều kiện $x\ne 0$. Đặt $t=3^{1-\frac{1}{x^2}}$ ($0<t<3$ vì $1-\frac{1}{x^2}<1$).
Ta được phương trình $t^2-a.t+2=0(2)$. Vì mỗi $t\in (0;3)$ cho $2$ giá trị phân biệt của $x$, nên bài toán đưa về tìm số các số nguyên dương $a\le 10$ để $(2)$ có đúng $1$ nghiệm $t_0\in (0;3)$ (hoặc nghiệm kép trong $(0;3)$, hoặc $1$ nghiệm trong $(0;3)$ và $1$ nghiệm $\ge 3$).
Ta có $t^2-at+2=0\iff a=h(t)=t+\frac{2}{t}$ trên $(0;3)$. Ta có $h^{\prime }(t)=1-\frac{2}{t^2}=0\iff t=\sqrt{2}$.

[IMAGE_1]

Dựa vào bảng biến thiên ta được $a=2\sqrt{2}$ hoặc $a\ge \frac{11}{3}$ (theo lời giải gốc ghi $2\sqrt{2}\le a<\frac{11}{3}\Rightarrow a=3$, chọn D).